「2つの設備で平均値が違う。でも、その違いは偶然のばらつきによるものかもしれない」。そんなときに使う方法の1つが、ウェルチ（Welch）のt検定です。
ウェルチのt検定は、独立した2つのグループの平均値に統計的な差があるかを調べる方法です。2群の分散が等しいことを前提としないため、設備や製造条件によってデータのばらつきが異なる場合にも利用できます。
今回は、設備A・Bの5個ずつのデータを使って、平均・分散からt値、p値までを順番に計算します。さらに、平均差の95％信頼区間も求め、「統計的に差があるか」だけでなく「どれくらい違うか」まで確認していきましょう。
Excelでの計算方法も紹介するので、実際に手を動かしながら理解できる内容になっています。
① ウェルチのt検定の基本
どのような場面で使うのか、通常のt検定との違いを理解する
② 具体例を使った計算方法
設備A・Bの5個ずつのデータから、平均・分散・t値・p値を順番に計算する
③ 検定結果の解釈
p値と95％信頼区間から、統計的な有意差と平均差の大きさを確認する
ウェルチのt検定とは？
ウェルチのt検定は、独立した2群の母平均を比較する方法です。2群の母分散が等しいとは仮定せず、それぞれのデータのばらつきを計算に使います。データ数が異なる場合にも利用できます。
Welchのt検定｜検定統計量の説明
ウェルチのt検定では、2群の平均値の差を、それぞれのデータのばらつきとサンプルサイズを考慮して標準化し、検定統計量（t値）を求めます。
検定統計量は、次の式で計算します。
検定統計量の記号と意味
ここで、各記号は次の意味を表します。
・x̄A、x̄B：設備A・Bの標本平均
・sA2、sB2：設備A・Bの不偏分散
・nA、nB：設備A・Bのサンプルサイズ
式の分子は「2群の平均値の差」、分母は「平均差の標準誤差」を表しています。
つまり、平均値の差がデータのばらつきに対してどの程度大きいかを、t値として数値化しています。
ウェルチのt検定では、2群の分散をそれぞれ計算に使用するため、母分散が等しいと仮定する必要がありません。
求めたt値と、別途計算する自由度を用いてt分布からp値を算出し、統計的な有意差を判断します。
Welchのt検定は、 別々の製品や人から得た、独立した2群のデータ を比較する場合に使用します。
一方、同じ人の前後比較など、 対応のあるデータには 「対応のあるt検定」 を使用します。
また、今回のようにデータ数が少ない場合は、 各群の母集団の分布が概ね正規分布とみなせること も大切です。
例題：設備Aと設備Bの平均に差はある？
2つの設備で製造した別々の製品を5個ずつ取り出し、引張荷重を測定したとします。以下は計算を理解するための架空データです。同じ行の値に対応関係はありません。
| 設備A（N） | 設備B（N） |
|---|---|
| 48 | 51 |
| 49 | 53 |
| 50 | 55 |
| 51 | 57 |
| 52 | 59 |
検定では、まず「設備AとBの母平均は等しい」を帰無仮説にします。今回は差の方向を限定せず、「母平均が異なる」を対立仮説とする両側検定を、有意水準5％で行います。
5つのステップで計算する
① 平均と分散を求める
平均は、データの合計を個数で割ります。設備Aは合計250、設備Bは合計275なので、平均はそれぞれ50 N、55 Nです。
検定に使う分散は不偏分散です。「各値と平均の差」を2乗して足し、データ数から1を引いた値で割ります。今回は両群とも5個なので、分母は4です。
設備Bの分散はAの4倍です。この違いをそのまま使って、平均差の不確かさを求めます。
② 平均差を標準誤差で割り、t値を求める
平均差は「A − B」で統一します。差は50 − 55 = −5 Nです。これを平均差の標準誤差（SE）で割ったものがt値です。標準誤差は、標本平均の差がどれくらい変動するかを表します。
符号がマイナスなのは、Aの平均がBより小さいためです。差の大きさは、標準誤差の約3.16倍になっています。
③ 自由度を求める
次に、p値を求めるためのt分布を決めます。ウェルチの検定では、分散とデータ数に応じて自由度を調整します。この自由度は小数になることがあります。
ここでは「分散 ÷ データ数」を先に計算すると、Aは2.5/5 = 0.5、Bは10/5 = 2です。これらをWelch–Satterthwaiteの式に入れます。
④ p値で「差があるか」を判断する
t値−3.162、自由度5.882のt分布から求める両側p値は、約0.0200です。p値は「母平均が等しいと仮定したとき、今回以上に極端なt値が得られる確率」です。
0.0200 < 0.05なので、帰無仮説を棄却します。有意水準5％では、設備AとBの母平均に統計的に有意な差があると判断します。
Excelで確認する場合は、先ほどのデータをA2:A6、B2:B6に入力し、D2に次の関数を入力してください。
両側p値をExcelで確認する
⑤ 95％信頼区間で「どれくらい違うか」を見る
p値だけでは、差の大きさはわかりません。そこで、母平均の差「A − B」の95％信頼区間も求めます。計算は「平均差 ± tの臨界値 × 標準誤差」です。
自由度5.882のt分布で、両側95％に対応する臨界値は約2.459です。これを使うと、次の区間になります。
区間全体がマイナスで、0を含みません。Bの母平均はAより高いと推定され、差を「B − A」で表すと、95％信頼区間は1.11～8.89 Nです。p値による判断とも一致しています。
Excelテンプレートをダウンロード
測定データを入力すると、平均・不偏分散・標準誤差・t値・自由度から、p値・有意差の判定・平均差の信頼区間まで自動計算するExcelテンプレートです。各群100個まで入力でき、2群のデータ数が異なる場合にも使えます。
テンプレートの使い方
- 例題データを自分のデータに置き換える
シート「Welch検定」の黄色の入力欄にある例題データを削除し、A群をC7:C106、B群をD7:D106に入力します。各群2個以上の数値を入力してください。 - 有意水準を設定する
G4セルの有意水準αを確認します。初期値は0.05（5％）で、変更すると判定基準と信頼水準（1 − α）も更新されます。 - 途中計算と検定結果を確認する
右側の「基本統計量」「t検定の途中計算」で計算過程を、「検定結果」でp値・有意差の判定・信頼区間を確認します。数式が入った結果欄は変更しないでください。
空欄は無視し、0は測定値として数えます。本テンプレートは独立した2群の両側検定用です。同じ行の値に対応関係はなく、平均差と信頼区間は「A − B」で表示します。初期設定の例題では、p値は約0.0200、平均差の95％信頼区間は約−8.89～−1.11 Nになります。
結果を実務で使うときのポイント
今回の標本平均の差は5 N、p値は約0.0200でした。ただし、統計的に有意な差と、実務上重要な差は別です。製品の規格や改善目標と照らし合わせて、5 Nの違いに意味があるかを考えましょう。
また、5個ずつという数は計算を追いやすくするための設定です。実際の検証では、必要な精度に応じたデータ数を検討し、測定の独立性、外れ値、分布の形も確認します。
ウェルチの検定は、平均と分散 → t値 → 自由度 → p値 → 信頼区間の順に見ると理解しやすくなります。まずはこの10個のデータで、手計算の流れとExcelの結果を確かめてみてください。
Excelのメニューから検定する手順は、Excelでt検定を行う方法でも解説しています。
参考資料：NIST：2標本のt検定とWelch–Satterthwaite自由度／Microsoft：T.TEST関数／R公式：t検定と信頼区間
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