設備A・B・Cの3台で製造した製品寸法について一元配置分散分析を行ったところ、有意差が確認されました。
しかしANOVAだけでは、「AとB」「AとC」「BとC」のどこに差があるのかまでは分かりません。このようなときに使用する代表的な多重比較法がTukey法です。
・ANOVAは「どこかに差があるか」を確認する検定です。
・Tukey法は、すべての群間ペアを多重性に配慮して比較します。
・今回の事例では、A–Bは有意差なし、A–CとB–Cは有意差ありです。
・統計的有意差だけでなく、規格や実務上の差も確認します。
前段：ANOVAで有意差が出ても「どこが違うか」は分からない
一元配置分散分析は、3群以上の平均値について「少なくとも1つは異なる」と考える根拠があるかを評価します。ただし、有意差が出ても、どの組み合わせが異なるかまでは特定できません。
ANOVAの考え方や計算方法は、一元配置分散分析の記事で詳しく解説しています。
A–B、A–C、B–Cのようにt検定をそのまま繰り返すと、全体として第1種の過誤が増える問題があります。詳しくは、検定の多重性の記事を確認してください。
Tukey法とは？
Tukey法は、3群以上についてすべてのペアを比較したい場合に使われる代表的な多重比較法です。複数の比較をまとめて考慮しながら、どの群間に平均値の差があるかを判断します。
3群であれば、A vs B、A vs C、B vs Cの3通りを比較します。ANOVAで全体差を確認した後に、具体的な組み合わせを調べる流れでよく利用されます。
Tukey法とBonferroni法の違い
Tukey法は、すべての群間ペアを比較したい場合に向いています。Bonferroni法は、より一般的に複数の検定について判定基準を調整する方法です。
製造業の事例でTukey法を計算してみる
3台の設備A・B・Cで製造した製品寸法を比較します。各設備で6個ずつ測定しました。
まず一元配置分散分析を行い、3設備の平均値に統計的な差があるかを確認します。そのうえで、ANOVAで有意差が確認された場合にTukey法を用いて、設備A・B・Cのどの組み合わせの間に統計的に有意な差があるのかを詳しく確認します。
今回の目的は、単に「3設備の平均値に差があるか」を判断するだけでなく、A－B、A－C、B－Cの各組み合わせを比較し、どの設備間に差があるのかを特定することです。
使用するデータ
| No. | 設備A | 設備B | 設備C |
|---|---|---|---|
| 1 | 9.8 | 10.0 | 10.7 |
| 2 | 10.0 | 10.2 | 10.9 |
| 3 | 10.2 | 10.4 | 11.0 |
| 4 | 9.9 | 10.1 | 10.8 |
| 5 | 10.1 | 10.3 | 11.1 |
| 6 | 10.0 | 10.2 | 10.9 |
| 平均 | 10.00 | 10.20 | 10.90 |
まずANOVAで全体差を確認
このデータの一元配置分散分析結果は、F＝67.00、p＝3.32×10−8です。p<0.05であるため、「3設備の平均値がすべて等しい」という帰無仮説を棄却します。
ただし、この結果だけでは差のある組み合わせが分からないため、Tukey法へ進みます。
Tukey HSDを計算
各群のサンプル数が等しい場合、Tukey法では「2つの平均値の差」が次のHSDより大きいかを確認します。
qはStudentized Range（スチューデント化範囲）の臨界値で、群数・誤差自由度・有意水準から決まります。MSEはANOVAの誤差平均平方、nは各群のサンプル数です。
今回の条件は、MSE＝0.020、n＝6、群数k＝3、誤差自由度df＝15、有意水準α＝0.05です。このときq＝3.6734となります。
3つの組み合わせを比較
| 比較 | 平均差 | HSD | Tukey調整済みp値 | 判定 |
|---|---|---|---|---|
| A vs B | 0.20 | 0.2121 | 0.06595 | 有意差なし |
| A vs C | 0.90 | 0.2121 | 3.93×10−8 | 有意差あり |
| B vs C | 0.70 | 0.2121 | 1.04×10−6 | 有意差あり |
結果を解釈
設備Aと設備Bの平均差0.20はHSDを下回り、統計的に有意な差は確認されませんでした。一方、設備Cは設備A・設備Bの両方と有意な差が確認されました。
今回のデータからは、設備Cの平均寸法が他の2設備と異なることが示唆されます。ただし、Tukey法の結果だけで「設備Cが原因」と因果関係まで断定することはできません。設備条件、材料、測定条件なども合わせて確認します。
Tukey法を使うときの注意点
✅ANOVAの前提も確認する
古典的な一元配置ANOVA＋Tukey HSDでは、データの独立性、各群の正規性、等分散性などを確認します。
✅全ペア比較向けの方法
Tukey法はA–B、A–C、B–Cのように、すべての群間ペアを比較したい場合に適しています。基準群とだけ比較したい場合などは、目的に応じて別の多重比較法を検討します。
✅サンプル数が異なる場合
群ごとのサンプル数が異なる場合は、一般にTukey-Kramer法が用いられます。使用するソフトの実装も確認してください。
✅有意差と実務上の重要性を分ける
統計的有意差があっても、平均差が製品規格や公差に対して十分大きいとは限りません。差の大きさと製品・工程への影響を合わせて判断します。
Stat Lab Analyticsで簡単に確認する
計算を手作業で行わなくても、Stat Lab Analyticsなら一元配置分散分析からTukey法による多重比較まで確認できます。
Stat Lab AnalyticsでTukey法を確認
ブラウザ上で一元配置分散分析と多重比較を実行できます
一元配置分散分析の設定で多重比較に「Tukey」を選択すると、 ANOVA表と各群のペア比較結果をまとめて確認できます。
Stat Lab Analyticsで解析してみる → 一元配置分散分析の操作手順を見るインストール不要・ブラウザ上で利用できます
まとめ
一元配置分散分析（ANOVA）では、3群以上の平均値について「少なくとも1つの群が異なる」と考える根拠があるかを確認できます。ただし、ANOVAで有意差が確認されても、具体的にどの群とどの群に差があるのかまでは分かりません。
そこで活用するのが、Tukey法のような多重比較です。Tukey法では、すべての群間ペアを比較しながら、多重比較によって偶然の有意差が増える問題にも配慮して判定できます。
今回の事例では、設備A・B・Cを比較した結果、
・設備A－設備B：有意差なし
・設備A－設備C：有意差あり
・設備B－設備C：有意差あり
となりました。
この結果から、設備Cの平均寸法は設備A・設備Bとは統計的に異なることが示唆されます。
ただし、「有意差がある＝工程上も重要な差がある」とは限りません。また、Tukey法の結果だけから設備Cが差の原因であると断定することもできません。
実際の製造現場では、p値や有意差の有無だけを見るのではなく、平均差の大きさ、製品規格や公差、工程能力、材料、設備条件、測定条件などと合わせて判断することが重要です。
ANOVAで全体の差を確認し、Tukey法で「どこに差があるのか」を確認する。この流れを押さえておくと、3群以上のデータ比較をより具体的な工程評価につなげやすくなります。
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