3つ以上のグループの平均値を比べたいとき、単純に平均値を並べるだけでは、その差が本当に条件の違いによるものなのか、偶然のばらつきなのか判断できません。
そこで使われるのが、一元配置分散分析（One-way ANOVA）です。本記事では、製造現場のデータを使いながら、なぜ「分散」を比較することで平均値の差を判断できるのかを、計算過程から分散分析表の読み方まで順番に解説します。
・一元配置分散分析は、1つの因子について3つ以上の水準の平均値を比較する手法
・データのばらつきを「群間変動」と「群内変動」に分けて平均値の差を評価する
・平方和 → 自由度 → 分散 → F値 → p値の順に計算し、有意差の有無を判断する
・有意差が確認された後、どの水準間に差があるかはTukey法などの多重比較で確認する
一元配置分散分析とは？
一元配置分散分析は、1つの因子について、3つ以上のグループの平均値に差があるかを調べる手法です。
たとえば、3台の設備A・B・Cで製造した製品について、「設備によって平均寸法が異なるか」を調べる場合に使用できます。
| 因子 | 設備 |
|---|---|
| 水準 | 設備A・設備B・設備C |
| 目的変数 | 製品寸法 |
このとき、一元配置分散分析では次の仮説を検定します。
・帰無仮説H₀：すべての水準の平均値は等しい
・対立仮説H₁：少なくとも1つの水準の平均値が異なる
つまり、3つ以上の平均値を一度に比較し、その違いが偶然のばらつきで説明できる範囲なのかを判断するのが一元配置分散分析です。
一元配置分散分析はどんなときに使う？
基本となるのは、「1つの因子について、3つ以上の水準の平均値を比較したい」というケースです。製造業では、次のような分析に利用できます。
| 確認したいこと | 因子 | 水準 | 目的変数 |
|---|---|---|---|
| 設備によって寸法が異なるか | 設備 | A・B・C | 寸法 |
| 材料によって強度が異なるか | 材料 | 材料1・2・3 | 強度 |
| 加工温度によって特性が異なるか | 加工温度 | 150℃・170℃・190℃ | 特性値 |
2つの平均値だけを比較する場合は、2標本t検定が一般的です。一方、3水準以上で「AとB」「AとC」「BとC」のようにt検定を繰り返すと、検定回数が増えるほど偶然有意差が出る確率も高くなります(これを、検定の多重性といいます）。
そのため、3水準以上をまとめて比較するときは、まず一元配置分散分析を行います。
検定を繰り返すとなぜ有意差が出やすくなるのか、多重性の考え方をわかりやすく解説します。
なぜ分散分析で平均値の差を判断できるのか
一元配置分散分析で最も重要なのは、データ全体のばらつきを次の2つに分けて考えることです。
総変動は、群間変動と群内変動の和として表せます。
| ST | 総変動：すべてのデータのばらつき |
|---|---|
| SA | 群間変動：水準間の平均値の違いによるばらつき |
| SE | 誤差変動：各水準の中にあるばらつき |
一元配置分散分析では、それぞれの平方和を自由度で割って群間分散と群内分散を求め、両者の比をF値として計算します。
F値が大きいほど、「グループ内で通常生じているばらつき」に対して「グループ平均の違い」が大きいことを示します。
事例：3つの加工条件で製品寸法に差があるか
加工条件A・B・Cによって製品寸法に違いがあるかを確認します。各条件で4個ずつ、合計12個のデータを測定しました。
使用するデータ
| 測定No. | 条件A | 条件B | 条件C |
|---|---|---|---|
| 1 | 50 | 56 | 52 |
| 2 | 52 | 58 | 54 |
| 3 | 49 | 55 | 53 |
| 4 | 51 | 57 | 55 |
| 平均 | 50.5 | 56.5 | 53.5 |
各条件のデータ数は同じなので、全体平均は3つの条件平均から次のように求められます。
① 群間変動を求める
各水準の平均値が全体平均からどれだけ離れているかを計算します。各条件には4データずつあるため、群間変動は次のとおりです。
= 4 × (9 + 9 + 0)
= 72
② 群内変動を求める
次に、それぞれのデータが各グループの平均からどれだけ離れているかを計算します。
したがって、誤差変動は次の値になります。
③ 自由度を求める
次に、群間変動と群内変動それぞれの自由度を求めます。
自由度は、平方和を分散に変換し、F値を計算するために必要な値です。
水準数を 、全データ数を とすると、自由度は次のようになります。
| 項目 | 計算 | 自由度 |
|---|---|---|
| 群間 | k − 1 = 3 − 1 | 2 |
| 群内 | N − k = 12 − 3 | 9 |
| 全体 | N − 1 = 12 − 1 | 11 |
④ 群間分散と群内分散を求める
各平方和を対応する自由度で割ります。
⑤ F値を求める
最後に、群間分散を群内分散で割ります。
⑥ p値を求める
最後に、F値と自由度からp値を求めます。
今回の事例では、
・F値：21.6
・分子の自由度：2
・分母の自由度：9
です。
p値はF分布から求めますが、手計算は複雑なため、Excelでは次の関数を使用できます。
p ≒ 0.00037
分散分析表にまとめる
ここまで計算した結果を1つにまとめると、次の分散分析表になります。
| 変動要因 | 平方和 SS | 自由度 df | 平均平方 MS | F値 | p値 |
|---|---|---|---|---|---|
| 群間 | 72 | 2 | 36.00 | 21.60 | 0.00037 |
| 群内（誤差） | 15 | 9 | 1.67 | － | － |
| 合計 | 87 | 11 | － | － | － |
p値は約0.00037です。有意水準を5%とすると、0.00037 < 0.05であるため、帰無仮説を棄却します。
ただし、この結果だけでは「AとB」「AとC」「BとC」のうち、どの組み合わせに差があるのかまでは分かりません。具体的な組み合わせを調べる場合は、Tukey法などの多重比較を行います。
一元配置分散分析を使うときの注意点
■正規性
一元配置分散分析では、各水準の誤差（残差）がおおむね正規分布に従うことを仮定します。多少の正規性からのずれには比較的頑健ですが、極端な歪みや外れ値がある場合は注意が必要です。ヒストグラムや正規確率プロット、正規性検定などを使ってデータの分布を確認しましょう。
データが正規分布に従っているか確認する方法とは？正規性検定の考え方からExcelを使った実践方法までわかりやすく解説！
■等分散性
通常の一元配置分散分析では、比較する各水準の分散がおおむね等しいことを仮定します。水準によってばらつきが大きく異なると、通常の分散分析では適切な結果が得られない場合があります。その場合は、Welchの一元配置分散分析などを検討します。
■独立性
一元配置分散分析では、各測定値が互いに独立していることを前提とします。たとえば、同じ対象を繰り返し測定したデータは互いに関連するため、通常の一元配置分散分析には適しません。対応のあるデータの場合は、反復測定分散分析など別の解析方法を検討します。
まとめ
一元配置分散分析は、1つの因子について3つ以上の水準の平均値を比較する手法です。
この記事では、3つの加工条件を例に、データのばらつきを群間変動と群内変動に分け、F値・p値を求めるまでの流れを確認しました。
一元配置分散分析では、単に平均値を比べるのではなく、「グループ間の差が、グループ内のばらつきに比べて十分に大きいか」を評価します。
この考え方を押さえておくと、分散分析表のF値やp値が何を意味しているのかも理解しやすくなります。
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