設備A・設備B・設備Cの3台について、製品寸法の平均値に違いがあるか確認したいとします。2群なら2標本t検定を使えますが、3群なら「A vs B」「A vs C」「B vs C」とt検定を3回行えばよいのでしょうか。
各検定を有意水準5%のまま繰り返すと、複数の検定全体では、本当は差がないのに少なくとも1回「有意差あり」とする確率が高くなります。この多重性を調整する代表的な方法が、ボンフェローニ法（Bonferroni法）です。
・t検定を繰り返すと、検定全体で第1種の過誤が起こる確率が高くなります。
・Bonferroni法では、全体の有意水準αを比較回数mで割ります。
・3比較でα＝0.05なら、各比較の判定基準は約0.0167です。
・ANOVA後に、どの群間に差があるかを調べる多重比較に利用できます。
ボンフェローニ法（Bonferroni法）とは？
ボンフェローニ法とは、複数の検定を行うときに、検定回数に応じて1回あたりの判定基準を厳しくする多重比較の調整方法です。目的は、複数の検定全体で第1種の過誤を起こす確率を、あらかじめ決めた水準以下に抑えることです。
多重性そのものの考え方は、検定の多重性とは？検定を繰り返すと有意差が出やすくなる理由で詳しく解説しています。本記事では、その問題にBonferroni法をどう使うかに絞ります。
3群ならt検定を3回行えばいい？
設備A・B・Cを2台ずつ比較すると、「A vs B」「A vs C」「B vs C」の3通りです。群数をk、すべてのペアの比較回数をmとすると、組み合わせ数は次の式で求められます。
2標本t検定の考え方や前提条件は、Excelで実践するt検定の手順と使う場面で確認できます。
なぜt検定を3回行うと問題なのか？
有意水準α＝0.05の検定では、本当は差がない場合でも、1回の検定で誤って「有意差あり」とする確率を5%まで許容しています。各検定の有意水準は、何回検定しても5%のままです。
一方、複数の検定をまとめて見ると、「少なくとも1回、第1種の過誤を起こす確率」が高くなります。この検定の集合全体で見たエラー率をFamily-Wise Error Rate（FWER）と呼びます。
直感をつかむため、3回の検定が互いに独立であると単純化します。1回の検定で誤って有意差を出さない確率は0.95です。
統計上の注意：3群のペア比較は同じデータを共有するため、検定同士が独立とは限りません。したがって14.3%は実際の3群比較で必ず得られる値ではなく、多重性によってFWERが増えることを理解するための単純化した例です。
Bonferroni法では有意水準をどう調整する？
全体として許容する有意水準をα、比較回数をmとすると、Bonferroni法では1回あたりの有意水準α’を次のように設定します。
Bonferroni法は、各検定が独立でなくても、FWERをα以下に抑えられるよう設計されています。14.3%の直感例とは異なり、補正そのものに検定間の独立性は必要ありません。
製造業の事例でBonferroni法を使ってみる
設備A・B・Cで加工した製品寸法を一元配置分散分析した結果、3設備の平均値には全体として統計的に有意な差が確認されたとします。ANOVAの計算過程は、一元配置分散分析の考え方と製造業の計算事例で詳しく解説しています。
次に、どの設備間に差があるのかを確認するため、3つのペア比較を行いました。得られたp値は次のとおりです。
| 比較 | p値 | 通常の5%基準 | Bonferroni基準 0.0167 |
|---|---|---|---|
| A vs B | 0.012 | 有意 | 有意 |
| A vs C | 0.028 | 有意 | 有意ではない |
| B vs C | 0.004 | 有意 | 有意 |
通常のp<0.05だけを見れば3組すべてが有意ですが、多重性を考慮するとA vs Cは有意とはいえません。Bonferroni補正によって、結論が変わる場合があることが分かります。
p値を補正する方法でも同じように判定できる
有意水準をα/mにする代わりに、各p値を比較回数m倍しても同じ判定になります。補正後p値は1を超えないよう、次の式で表します。
| 比較 | 計算 | 補正後p値 | p<0.05での判定 |
|---|---|---|---|
| A vs B | 0.012 × 3 | 0.036 | 有意 |
| A vs C | 0.028 × 3 | 0.084 | 有意ではない |
| B vs C | 0.004 × 3 | 0.012 | 有意 |
「有意水準を比較回数で割る方法」と「p値を比較回数倍する方法」は、同じBonferroni法を別の形で表したものです。
Bonferroni法と一元配置分散分析の関係
ANOVAで有意差が確認されても、それだけでは「どの群とどの群が違うか」は分かりません。そこで、研究目的に合う多重比較法を選びます。
Bonferroni法とTukey法の違い
| 方法 | 特徴 | 向いているケース |
|---|---|---|
| Bonferroni法 | 比較回数に応じて有意水準またはp値を調整 | 事前に定めた特定の組み合わせを比較したい |
| Tukey法 | すべてのペア比較を前提とする代表的な方法 | 全グループ間を比較したい |
Bonferroni法以外にもTukey法やHolm法などがあります。比較の目的や数に応じて選択し、解析後に都合よく方法を変えないことが大切です。
Bonferroni法を使うときの注意点
✅比較回数が多いと判定が厳しくなる：mが増えるほどα/mは小さくなります。Bonferroni法は保守的になり、有意差を検出しにくくなる場合があります。
✅比較内容を事前に整理する：必要以上に検定を増やさず、どの比較が実務上必要なのかを解析前に決めます。
✅元の検定の前提条件も確認する：補正をしても、t検定の独立性、分布、分散などの前提条件が不要になるわけではありません。
まとめ
3群以上を比較するとき、2標本t検定を有意水準5%のまま繰り返すと、複数の検定全体で第1種の過誤が起こる確率が高くなります。Bonferroni法は、全体の有意水準αを比較回数mで割ることで、この多重性を調整する方法です。
3比較でα＝0.05なら、各検定の基準は0.05÷3≒0.0167です。一元配置分散分析で全体差を確認した後、「どの群間に差があるか」を調べる際に利用できます。ただし、比較回数が多いほど保守的になるため、必要な比較を事前に整理して使いましょう。
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