許容限界区間とは？|計算方法や品質管理での使い方をわかりやすく解説【Tolerance Interval】

はじめに

製造・品質管理・分析法評価などの現場では、将来得られる個々の測定値が規格内に収まる」を確認したい場面が少なくありません。

例えば、「この製造工程で作った製品の99％以上が規格内に入ると言えるか？」「今後測定されるデータの多くが許容範囲に収まるか？」
といったケースです。

このような場合、技術者の皆さんはどのように判断するでしょうか？？
「100個測定して最小値と最大値を見る」や「95％信頼区間を計算する」といった方法を考えるかもしれません。

しかし、これらの方法では「将来得られる個々のデータがどの範囲に収まるか」を評価することはできません。

このような場面で使用される統計手法が、許容限界区間（Tolerance Interval）です。
許容限界区間を用いることで、「母集団に含まれる一定割合のデータが入る範囲」を、指定した信頼度のもとで推定することができます。

この記事では、

・許容限界区間とは何か
・信頼区間との違い
・許容限界区間の計算方法
・品質管理における具体的な使い方

について詳しく解説します。

許容限界区間とは？

1．許容限界区間の基本的な考え方

許容限界区間とは、

母集団に含まれる一定割合のデータが存在すると考えられる範囲を、信頼度付きで推定した区間

のことを指します。

例えば、信頼度95％で母集団の99％を含む許容限界区間の場合、「この計算した範囲内に、全体の少なくとも99％のデータが含まれると95％の信頼度で判断できる」という意味になります。

ここで重要なのは、

・何％のデータを含めたいか（含有率、coverage）
・どの程度の信頼性で判断するか（信頼度、confidence）

という2つの条件を技術者が設定することです。

例えば、「どの範囲に収まるか」については

・95％信頼度／99％許容限界区間
・95％信頼度／95％許容限界区間

のように目的に応じて設定します。品質保証では、より厳しい確認が必要な場合「95％信頼度で99％以上の製品が規格内に入ることを示す」といった使われ方をします。

2．許容限界区間と信頼区間の違い

許容限界区間とよく間違われるものに「信頼区間」があります。

しかし、この2つは評価している対象が異なります。

例えば製品重量を評価する場合、

・信頼区間：「平均重量が100g付近と言えるか」
・許容限界区間：「生産される製品の99％が規格内に入るか」

といった形でそれぞれ意味しているところが全く異なります(ここ要注意！)
品質管理では平均だけでなく、個々の製品が規格を満たす必要があるため、許容限界区間が重要になります。

許容限界区間の計算方法

正規分布を仮定した両側許容限界区間は、以下の式で計算できます。

　※Xave：サンプルから算出した平均値
　※s：サンプルから算出した標準偏差
　※k：許容係数（Tolerance factor）

ここで、kは「信頼度」と「サンプルサイズ」により決まる係数です。
サンプルサイズが小さいほどkは大きくなります。これは、「少ないデータでは母集団のばらつきを推定する不確かさが大きくなる」というところからきています。

参考：許容係数ｋ表(信頼度95％)

※許容係数kや計算式についてはISO-16269-6などの規格表を参考にします

表を見ると、サンプルサイズが大きくなるほどkが小さくなり、許容限界区間が狭くなることが分かります。

許容限界区間の算出手順

許容限界区間は、単純に式へ当てはめればよいわけではありません。

正規許容限界区間では「データが正規分布していること」を前提としているため、以下の流れで評価します。

○STEP1：サンプルサイズを決める

評価目的に応じて必要なサンプル数を設定します。一般的にサンプルサイズが大きいほど、狭い許容限界区間を求めることができます。

○STEP2：データを取得する

対象工程や試験から代表性のあるデータを取得します。
この時、「測定者違い」や「Lot違い」とったノイズが入らないように注意します。
(標準偏差sの値が不必要に大きくなり、区間幅が広がることに繋がります）

○STEP3：データの正規性を確認する

取得データが正規分布に従っているか確認します。
代表的な方法として、

・歪度/尖度
・正規確率プロット
・正規性検定(Shapiro-Wilk検定)

などがあります。

○STEP4：許容限界区間を計算する

正規性が確認できた場合、平均値・標準偏差・k値を用いて計算します。

・下側許容限界：XL＝Xave − k×s
・上側許容限界：XU＝Xave ＋ k×s

○STEP5：結果を解釈する

算出された許容限界区間が、「設定した規格範囲内に収まるか」など、目的応じて結果を解釈します。

計算方法や結果の解釈について詳しく理解したい方は、以下の「事例」を確認ください↓

事例：工場製品の規格に収まる範囲の計算

品質保証担当のAさんは、担当工程の製品について、「99％以上の製品が規格内に収まっていること」を統計的に示す必要がありました。

すべての製品を測定する方法もありますが、Aさんの取り扱う製品は単価が高く、100個以上測定することは現実的ではありません。

そこでAさんは、工程から20個サンプリングし、95％信頼度で99％の製品が含まれる許容限界区間を求め、工程の妥当性を確認することにしました。

製品規格は以下とします。

データを取得し、許容限界区間を計算するまでの過程を一緒に学んでいきましょう！

---

1．データの取得

工程から20個の製品を取得したところ、以下の結果となりました。

このデータを使って必要は統計量を求めていきます。

---

2．許容限界区間の計算

許容限界区間の計算には、得られたデータから「平均」と「標準偏差」の統計量を得る必要があります。

まず、20個の測定データから平均値を求めます。

・平均値：Xave＝100.15 mm

次に標準偏差を計算します。

・標準偏差：s＝0.48 mm

今回は、

・サンプルサイズN：20
・信頼度：95％
・含有率：99％

で評価するため、許容係数表より、k＝3.62を使用します。

---

許容限界区間は以下の式で計算します。

・下側許容限界：XL＝Xave − k×s＝100.15 −（3.62×0.48）＝ 98.41 mm
・上側許容限界：XU＝Xave ＋ k×s＝100.15＋（3.62×0.48）＝101.89 mm

したがって、担当工程にて今後生産される製品の99％が含まれる範囲は

98.41 mm ＜ X ＜ 101.89 mm

であることがわかりました！

3．結果の解釈

今回の結果から、

「今後生産される製品の99％が98.41〜101.89 mmの範囲に入ることを、95％の信頼度で示せる」

ことが得られました。

製品規格は、
・LSL：95.0 mm
・USL：105.0 mm

のため、許容限界区間が規格範囲内に完全に収まっているため99％以上の製品が規格を満たす工程であると統計的に判断できます。無事に品質を保証することができました！

まとめ

許容限界区間とは、母集団の一定割合のデータが入る範囲を、信頼度付きで推定する統計手法です。

ポイントをまとめると、以下になります

✅平均値ではなく個々のデータのばらつきを評価する
✅品質管理や工程評価で使用される
✅「何％のデータを含めるか」と「信頼度」の設定が重要
✅サンプルサイズが小さいほど区間は広くなる
✅正規許容限界区間では正規性確認が必要

製造工程や分析評価では、「平均値が良い」だけでは品質を保証できません。

将来作られる製品が安定して規格を満たすことを示すために、許容限界区間は非常に有効な統計手法です。

品質保証で、「統計的にどのように規格適合を示せばよいかわからない」「工程評価や分析法評価で適切な統計手法を選びたい」といったお悩みがある方は、以下のお問い合わせフォームよりお気軽にご相談ください。

参考記事：