標準的な正規工程能力分析では、平均と標準偏差を使ってCp・Cpk・Pp・Ppkを算出し、データがおおむね正規分布に従うことを前提に工程能力や規格外率を評価します。しかし、製造現場で得られる測定値が、いつも左右対称の正規分布になるとは限りません。
たとえば、下限が0の粗さや濃度、片側に裾を引く加工時間、複数条件が混在した寸法データなどでは、分布が歪むことがあります。このようなデータに正規分布を機械的に当てはめると、規格外率や工程能力を誤って評価する可能性があります。
そこで選択肢になるのが、ノンパラメトリック工程能力分析です。本記事では、Cpk・Ppkとの違い、使用する場面、経験百分位数からCnpkを計算する考え方を、製品寸法の事例とExcel式を使って解説します。
・ノンパラメトリック工程能力分析は、特定の分布を仮定せずに工程能力を評価する方法
・Minitabの現行方式では、平均・標準偏差ではなく中央値と経験百分位数を用いる
・結果は通常のPpkではなく、非パラメトリック指標であるCnp・Cnpl・Cnpu・Cnpkで表す
・正規分布が合わないだけで直ちに使わず、他の分布・変換・工程の安定性も先に確認する
・Excelでも計算できるが、裾の推定はサンプルサイズと極端値の影響を受けやすい
ノンパラメトリック工程能力分析とは？
ノンパラメトリック工程能力分析とは、正規分布、ワイブル分布、対数正規分布など、特定の確率分布を仮定せずに、データと規格限界から工程能力を評価する方法です。
通常のPpkでは、平均から規格限界までの距離を、全体標準偏差の3倍で割ります。一方、Minitabのノンパラメトリック工程能力分析では、データの中央値と経験百分位数から工程の広がりを推定し、Cnpkを求めます。
| 方法 | 分布の扱い | 中心・広がり | 主な指標 |
|---|---|---|---|
| 正規工程能力分析 | 正規分布を仮定 | 平均・標準偏差 | Cpk、Ppk |
| 非正規のパラメトリック分析 | ワイブル分布などを仮定 | 適合分布の百分位数 | Ppkなど |
| ノンパラメトリック分析 | 特定の分布を仮定しない | 中央値・経験百分位数 | Cnp、Cnpk |
名称に注意
「非正規データのPpk」と表現されることがありますが、分布を当てはめてPpkを求める方法と、分布を仮定せずCnpkを求める方法は別です。本記事では、Minitabの現行ヘルプにある経験百分位数に基づくノンパラメトリック工程能力分析を扱います。
Cp・Cpk・Pp・Ppkの基本から確認したい方は、先にCpkとPpkの違いをご覧ください。
ノンパラメトリック工程能力分析はどのような場面で使う？
Minitabは、パラメトリックな分布を使う方が少ないデータでも精度の高い推定を得やすいとし、適合する分布がなく、変換を行っても適切な分布に当てはまらない場合にノンパラメトリック分析を選ぶ考え方を示しています。
✅連続量のデータで、正規分布への当てはまりが明らかに悪い
✅ワイブル分布、対数正規分布など、候補となる非正規分布にも十分に適合しない
✅Box-Cox変換やJohnson変換を検討しても、分布の問題を解消できない
✅分布モデルを置く根拠が乏しく、実測データに基づいて工程能力を評価したい
ただし、正規性検定でp値が0.05未満になったことだけを理由に、直ちにノンパラメトリック分析へ切り替えるのは適切ではありません。ヒストグラムや確率プロット、外れ値、層別の必要性を確認し、工程の物理的な性質に合う分布がないかを検討します。正規性の確認方法は、正規性検定の解説記事でも紹介しています。
ノンパラメトリック工程能力指数Cnpkの計算方法
① 評価する百分位点を決める
Minitabでは「許容幅（tolerance）」から、工程の下側と上側を表す確率を決めます。両側規格で既定の許容幅を6とすると、標準正規分布の−3と＋3に対応する確率を使用します。
T＝6の場合、pL＝0.00135、pU＝0.99865です。つまり、下側0.135百分位点と上側99.865百分位点を使い、正規分布の±3σに相当する約99.7％の広がりと規格幅を比較します。
② データから経験百分位数を求める
データを小さい順に並べ、求めたい確率pに対する位置wを計算します。
wがデータ範囲内にあれば、隣接する順位の値を線形補間して経験百分位数Xpを求めます。
wが1未満なら最小値、wがN以上なら最大値を使用します。したがって、データ数が少ない場合、既定のT＝6ではXplが最小値、Xpuが最大値になることがあります。
「最大値・最小値＝平均±3σ」ではありません
正確には、±3σに対応する確率位置の経験百分位数を推定します。サンプル数が少なく、その確率位置をデータ内で補間できないときに、結果として最小値・最大値が使われます。また、中心には平均ではなく中央値ηを用います。
③ Cnp・Cnpl・Cnpu・Cnpkを求める
両側規格の場合、工程全体の広がりと規格幅の関係をCnpで表します。
工程中心の偏りを含めるため、下側と上側の能力を別々に求めます。
Cnpkが小さい側が、規格外発生の懸念が大きい側です。通常のCpk・Ppkと同じように「大きいほど規格に対する余裕が大きい」と解釈できますが、推定方法が異なるため、数値を同じものとして扱わないようにします。
事例：非正規な製品寸法のCnpkをExcelで求める
ある加工工程で製品寸法を30個測定しました。規格はLSL＝9.80 mm、USL＝10.20 mmです。分布を確認したところ左右対称ではなく、適切な分布モデルも定めにくかったため、ノンパラメトリック工程能力を試算します。
| No. | 寸法（mm） | No. | 寸法（mm） | No. | 寸法（mm） |
|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 9.86 | 11 | 10.01 | 21 | 10.08 |
| 2 | 9.90 | 12 | 10.01 | 22 | 10.09 |
| 3 | 9.93 | 13 | 10.02 | 23 | 10.10 |
| 4 | 9.95 | 14 | 10.02 | 24 | 10.11 |
| 5 | 9.96 | 15 | 10.03 | 25 | 10.12 |
| 6 | 9.97 | 16 | 10.03 | 26 | 10.13 |
| 7 | 9.98 | 17 | 10.04 | 27 | 10.15 |
| 8 | 9.99 | 18 | 10.05 | 28 | 10.17 |
| 9 | 10.00 | 19 | 10.06 | 29 | 10.18 |
| 10 | 10.00 | 20 | 10.07 | 30 | 10.19 |
STEP1 経験百分位数の位置を計算する
既定のT＝6を用いるため、pL＝0.00135、pU＝0.99865です。N＝30を代入します。
wLは1未満、wUは30以上です。この事例では、下側経験百分位数Xplに最小値9.86 mm、上側経験百分位数Xpuに最大値10.19 mmを使用します。
STEP2 中央値と各能力指数を計算する
30個の中央値ηは、15番目と16番目の平均です。どちらも10.03 mmなので、η＝10.03 mmです。
上側能力Cnpuが小さいため、この工程では上限規格側の余裕が相対的に小さいと判断します。
この結果は、工程が将来も必ず同じ能力を持つことを保証するものではありません。また、「1.33以上」などの判定基準は会社・顧客・製品リスクによって異なります。社内基準を確認し、信頼区間や規格外率、グラフと合わせて判断します。
STEP3 Excelで再現する
B2:B31に測定値、E2にLSL、E3にUSLを入力し、E4:E11へ表の順番で計算結果を配置する想定です。この30個の事例では、既定のT＝6に対する経験百分位数が最小値・最大値になるため、次の関数で再現できます。
| 項目 | Excel式 | 結果 |
|---|---|---|
| データ数N | =COUNT(B2:B31) |
30 |
| 中央値η | =MEDIAN(B2:B31) |
10.03 |
| 下側経験百分位数Xpl | =MIN(B2:B31) |
9.86 |
| 上側経験百分位数Xpu | =MAX(B2:B31) |
10.19 |
| Cnp | =($E$3-$E$2)/(E7-E6) |
1.212 |
| Cnpl | =(E5-$E$2)/(E5-E6) |
1.353 |
| Cnpu | =($E$3-E5)/(E7-E5) |
1.063 |
| Cnpk | =MIN(E9,E10) |
1.063 |
Excel計算の適用範囲
上記のMIN・MAXは、この事例のN＝30、T＝6に対してMinitab方式の百分位位置がデータ範囲外になるため使用しています。サンプルサイズや許容幅が異なり、wがデータ範囲内になる場合は、順位データ間の補間が必要です。ExcelのPERCENTILE.INCをそのまま使うとMinitabと定義が一致しない場合があるため、結果の照合が必要です。
ノンパラメトリック工程能力分析の注意点
工程が安定しているかを先に確認する
工程能力指数は、安定した工程が規格を満たす力を評価する指標です。管理図で特殊原因が確認される状態では、1つのCnpkだけで将来の工程能力を判断できません。平均やばらつきの変化、設備・材料・測定条件の切り替わりを先に確認します。管理図の基本は、ExcelでXbar-R管理図を作成する方法で解説しています。
十分なデータを集める
ノンパラメトリック分析は、分布モデルの代わりに観測データから裾を推定します。そのため、データ数が少ないと最小値・最大値の影響が大きく、サンプルを追加しただけでCnpkが変化することがあります。Minitabは、信頼できる工程能力推定のために合計100点以上を集めることを目安として示しています。
外れ値を機械的に削除しない
極端な値はCnpkに大きく影響します。しかし、結果をよく見せるために除外してはいけません。入力ミス、測定異常、設備トラブルなど客観的な原因を確認し、除外する場合は根拠と処置を記録します。
規格限界はデータから決めない
USL・LSLは、顧客要求、設計要求、法規・規格などから設定される値です。実測値の最大・最小に合わせて規格限界を動かすと、工程能力を評価する意味が失われます。
Cnpkと規格外率をセットで確認する
Cnpkは工程能力を1つの数値で要約できますが、分布の形や上下どちらに外れやすいかまでは十分に伝えません。ヒストグラム、経験累積分布、上下の観測規格外率、Cnpl・Cnpuも合わせて確認します。
まとめ
ノンパラメトリック工程能力分析は、正規分布や特定の非正規分布を仮定せず、実測データの中央値と経験百分位数から工程能力を評価する方法です。Minitabの現行方式では、通常のPpkではなくCnp・Cnpl・Cnpu・Cnpkを使用します。
既定の許容幅T＝6では、下側0.135百分位点と上側99.865百分位点が正規分布の±3σに相当します。ただし、「最小値・最大値を平均±3σとみなす」という意味ではありません。データ数が少なく百分位位置を補間できない場合に、結果として最小値・最大値が使われる点を区別して理解することが重要です。
実務では、まず工程の安定性と測定データの妥当性を確認し、正規分布以外の分布や変換が利用できないかを検討します。その上で分布モデルを置く根拠が乏しい場合に、ノンパラメトリック工程能力分析を選択します。Cnpkだけで結論を出さず、グラフ、規格外率、サンプルサイズ、工程条件を合わせて判断しましょう。