分散の加法性とは？平均だけでは見えない「全体のばらつき」の求め方を解説！

はじめに

モノづくりの現場では、複数の部品寸法を組み合わせる場面がよくあります。

例えば、正規分布に従う次のような2つの部品があるとします。

• 部品A：平均100mm、標準偏差2mm
• 部品B：平均110mm、標準偏差3mm

この2つを組み合わせた製品の全長を考えると、平均値は

100 + 110 = 210mm

となります。

平均値は単純に足し算で求められるため、ここは直感的にも分かりやすいでしょう。

しかし、問題は「標準偏差」です。

「2mm + 3mm = 5mm」と単純に足してしまいたくなりますが、実はこれは誤りです。

標準偏差はそのまま足し算してはいけません。

正しくは、一度「分散」に直してから足し合わせ、最後に平方根を取る必要があります。

この記事では、分散の加法性の考え方と、実際の計算方法、Excelでの求め方まで分かりやすく解説します。

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分散の加法性とは？

分散の加法性とは、独立した2つのばらつきを合成するとき、標準偏差ではなく「分散」を足し合わせるという考え方です。

標準偏差をそのまま足すのではなく、次の手順で計算します。

1. 標準偏差を2乗して分散にする
2. 分散同士を足し合わせる
3. 最後に平方根を取って標準偏差に戻す

標準偏差が

・部品A：2mm
・部品B：3mm

の場合、分散はそれぞれ

・部品A：2² = 4
・部品B：3² = 9

です。ここで分散を足し合わせると

4 + 9 = 13

となります。

最後に平方根を取ると、全体の標準偏差は

√13 ≒ 3.61mm

が得れます。これが分散の可能性により得られた正しい標準偏差です。

単純に足し算してしまうと5mmになりますが、実際は約3.61mmです。
(ばらつきを過大評価することに繋がってしまいます。。。）

計算式

足し算の場合の標準偏差は、次の式で求めます。

σ(A+B) = √(σA² + σB²)

また、引き算の場合でも考え方は同じです。

例えば、隙間やクリアランスのように

部品A − 部品B

で管理するケースでも、標準偏差は引き算になりません。

引き算であっても、分散は足し算になります。

σ(A-B) = √(σA² + σB²)

これが「分散の加法性」と呼ばれる理由です。

平均値は足し算・引き算に応じて変わりますが、ばらつきは必ず分散で足し合わせます。

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実際に計算してみる

① 部品寸法を足し合わせるケース

部品Aと部品Bの寸法を足し合わせて、部品Cの全長を管理するケースを考えます。
(こちらは先ほどの事例のケースです）

• 部品A：平均100mm、標準偏差2mm
• 部品B：平均110mm、標準偏差3mm

平均値は

100 + 110 = 210mm

です。

標準偏差は

√(2² + 3²) = √(4 + 9) = √13 ≈ 3.61mm

となります。したがって、完成品の寸法は

210 ± 3.61mm

程度のばらつきを持つことになります。

② 引き算になるケース

次に、正規分布に従うふたつの部品AとBを下図のように組み合わせるケースを考えます。

• 部品A：平均30mm、標準偏差2mm
• 部品B：平均90mm、標準偏差3mm

これらの部品を上図のように組み合わせると、区間Xの平均値は

90 − 30 = 60mm

と計算により得ることができます。

ここで標準偏差は、”分散の加法性”を用いるため

√(2² + 3²) = √(4 + 9) = √13
≈ 3.61mm

となります(組み合わせる形状は異なりますが、バラツキを示す標準偏差は同じなんですね！）。

※引き算なのに、標準偏差は足し算になる点が重要です。

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Excelでやってみよう

Excelでは、標準偏差を直接足し算せず、次のように入力します。
ここでは「どの関数を用いるか」ついて詳しく解説します。

足し算の場合

標準偏差が

・A1セル：2
・A2セル：3

に入っている場合、合体後の標準偏差は以下の関数で求められます。

=SQRT(A1^2+A2^2)

で求められます。
また、計算結果は

3.605551

となります。

引き算の場合

引き算のケースでも、式は同じです。(分散に直して足し算するだけですからね）

=SQRT(A1^2+A2^2)

平均値は引き算でも、標準偏差は必ず足し算になるためです。

そのため、Excelでは「足し算」「引き算」で標準偏差の式を変える必要はありません。

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なぜモノづくりの現場で必要なのか？

「分散の」加法性は、寸法公差の積み上げや、組立時のばらつき評価で非常によく使われます。

例えば、複数の部品を組み合わせたときに

・全長が規格内に収まるか
・穴とシャフトの隙間が不足しないか
・組立後に干渉しないか
・バラつきが最終品質にどのくらい影響するか

を考える際、各部品のばらつきを合成して考える必要があります。

このとき、標準偏差を単純に足してしまうと、実際より過大評価になることがあります。

逆に、ばらつきを無視すると、組立不良や品質トラブルにつながる可能性があります。

現場では「平均値だけ見れば大丈夫」と思いがちですが、本当に重要なのは“ばらつき”です。

分散の加法性を理解しておくことで、より現実に近い品質評価ができるようになります。

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まとめ

• 平均値はそのまま足し算・引き算できる
• 標準偏差はそのまま足してはいけない
• 一度分散に直してから足し合わせ、最後に平方根を取る
• 足し算でも引き算でも、標準偏差は必ず分散を足し合わせる
• Excelでは =SQRT(A1^2+A2^2) で求められる

モノづくりでは、平均値だけでなく「ばらつき」をどう扱うかが重要です。

分散の加法性を理解しておくと、寸法の積み上げやクリアランス設計、品質評価がぐっと実践的になります。